连续

Continuous

直观上来说，连续的函数就是当输入值的变化足够小的时候，输出的变化也会随之足够小的函数。
如果输入值的某种微小的变化会产生输出值的一个突然的跳跃甚至无法定义，则这个函数被称为是不连续的函数（或者说具有不连续性）

\begin{array}{r} lim_{Δ x \to 0} Δ y = lim_{Δ x \to 0} [f (x_{0} + Δ x) - f (x_{0})] = 0 \end{array}

\begin{array}{r} lim_{x \to x_{0}} f (x) = f (x_{0}) \end{array}

左连续： $f (x_{0}^{-}) = lim_{x \to x_{0}^{-}} f (x) = f (x_{0})$
右连续： $f (x_{0}^{+}) = lim_{x \to x_{0}^{+}} f (x) = f (x_{0})$

函数 $f (x)$ 在点 $x_{0}$ 的某去心邻域内有定义

在 $x_{0}$ 处无定义
无穷间断点
振荡间断点
在 $x_{0}$ 处有定义，但是 $lim_{x \to x_{0}} f (x)$ 不存在
可去间断点
在 $x_{0}$ 处有定义， $lim_{x \to x_{0}} f (x)$ 存在，但是 $lim_{x \to x_{0}} f (x) \neq f (x_{0})$
跳跃间断点

最大最小值定理：在闭区间上连续的函数在该区间上有界，且一定能取得最大值和最小值

介值定理：在闭区间 $[a, b]$ 上连续的函数 $f (x)$ 的值域为闭区间 $[m, M]$ ， $m = min f (x), M = max f (x)$

零点定理：设函数 $f (x)$ 在闭区间上连续，且 $f (a)$ 和 $f (b)$ 异号， $f (a) f (b) < 0$
则在开区间 $(a, b)$ 内至少有一点 $ξ$ 使得 $f (ξ) = 0$